ITA 2012 - Questão 04

   Apoiado sobre patins, numa superfície horizontal sem atrito, um atirador dispara um projetil de massa m com velocidade v contra um alvo a uma distância d. Antes do disparo a massa total do atirador e seus equipamentos é M. Sendo vs a velocidade do som no ar e desprezando a perda de energia em todo o processo, quanto tempo após o disparo o atirador ouviria o ruído do impacto do projétil no alvo?

   O tempo que o atirador leva para ouvir o som do impacto do projétil contra o alvo é  tempo que o projétil leva até o alvo somado ao tempo que o som leva para ir do alvo até o seu ouvido.

equação 1

   O tempo que projétil viaja da arma até o alvo é dado por:

equação 2

   Quando a arma dispara o atirador é impulsionado para trás, então o tempo que o som leva para chegar ao ouvido do atirador será dado pela razão entre a distância que o som percorreu até a posição inicial do atirador mais a distância x percorrida pelo atirador causado pelo impulso que o atirador sofreu e a velocidade vs  do som. Então o tempo tsom será:

equação 3

   A distância x percorrida pelo atirador será dada pelo produto de sua velocidade va e a soma dos tempos de viagem do projétil e do tempo de viagem do som até seu ouvido.

equação 4

 Substituindo a equação 4 na equação 3  e após uma certa álgebra para isolar tsom, teremos:

equação 5

Ainda substituindo tprojétil dado pela equação 2 na equação cinco podemos chegar após mais alguns passos:

equação 6

Lembrando da equação 1

Substituindo as equações 2 e 6 n equação um temos

equação 7

e assim

equação 8

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   Para obtermos a resposta no formato da questão falta sabermos o valor da velocidade do atirador em termos de quantidades conhecidas.

   Para descobrirmos precisamos utilizar a conservação do momentum linear do sistema.

  Inicialmente o sistema atirador + projétil  estavam em repouso, então seu momentum linear inicial é nulo. Após o disparo o projétil segue em direção ao alvo e o atirador é impulsionado para trás. A equação para o momentum linear é:

equação 9

E obtemos para a velocidade do atirador

equação 10

Substituindo a equação 10 na equação 8 e mais alguma álgebra 

   

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Resposta item (A).